Continuidad en un punto. Discontinuidades. Supresión de valores absolutos.
Continuidad en un punto. Discontinuidades. Supresión de valores absolutos.
La continuidad de las funciones expresa mejor que ninguna otra propiedad el comportamiento progresivo, gradual y sin saltos de casi todos los fenómenos de la naturaleza. Gráficamente, la curva de una función continua definida en un intervalo puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel de modo que no se rompa en ningún punto.
La definición de continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas tres condiciones:
a) Existe el límite de la función f(x) en x = a.
b) La función está definida en x = a; es decir, existe f(a).
c) Los dos valores anteriores coinciden.
Niveles:
Bachillerato
Fecha:
20 de Marzo de 2020
Número de vídeos:
8
Dificultad:
Media-alta
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Descripción del curso
Sinopsis
Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
Para la clasificación de las discontinuidades en un punto tendremos en cuenta la existencia o no de los límites laterales en el mismo.
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.
Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. El salto de la función en ese punto puede ser finito o infinito.
Objetivos
Propiedades de la continuidad local:
1- Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.
2- Si una función es continua en un punto x = a y f(a) es distinto de cero, entonces existe un entorno simétrico de x = a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que f(a).
3- Si una función toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x = a, la función se anula en él.
4- Si una función es continua en el punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x = a en el que la función está acotada.
5- Las operaciones con funciones continuas en x = a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x = a, siempre que tenga sentido la operación.
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